Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb a , b > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1} liczba oznaczana log a ⁡ b {\displaystyle \log _{a}b} będąca rozwiązaniem równania a x = b . {\displaystyle a^{x}=b.} Taki logarytm został zdefiniowany przez Eulera. Liczba a {\displaystyle a} nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba b {\displaystyle b} liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę a , {\displaystyle a,} aby otrzymać liczbę logarytmowaną b {\displaystyle b} . Przykłady log 2 ⁡ 8 = 3 , {\displaystyle \log _{2}8=3,} gdyż 2 3 = 8 , {\displaystyle 2^{3}=8,} log 10 ⁡ 10000 = 4 , {\displaystyle \log _{10}10000=4,} gdyż 10 4 = 10000. {\displaystyle 10^{4}=10000.} Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku matematycy brytyjscy: Szkot John Napier i Anglik Henry Briggs. Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Natomiast Euler był pierwszym matematykiem, który przedstawił logarytmy liczb zespolonych. Historycznie praca Eulera na ten temat była pierwszą analizą funkcji przestępnej więcej niż jednej zmiennej. Pozwalały zamienić mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza. Logarytm przy ustalonej podstawie a > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a>0,a\neq 1} pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną f a : R + → R {\displaystyle f_{a}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} } następująco: f a : x ↦ f a ( x ) = log a ⁡ x . {\displaystyle f_{a}\colon x\mapsto f_{a}(x)=\log _{a}x.} == Definicja formalna == Logarytm jest działaniem zewnętrznym: log : R + ∖ { 1 } × R + → R {\displaystyle \log \colon \;\mathbb {R} _{+}\!\!\setminus \!\!\{1\}\times \mathbb {R} _{+}\;\to \;\mathbb {R} } zdefiniowanym równoważnością: log a ⁡ b = c ⇔ a c = b {\displaystyle \log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b} (zamiast log ⁡ ( a , b ) {\displaystyle \log(a,b)} stosuje się symbolikę log a ⁡ b {\displaystyle \log _{a}b} ). Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn. dla każdych a , b > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1} istnieje liczba rzeczywista c = log a ⁡ b . {\displaystyle c=\log _{a}b.} Jest też odwrotnie: dla dowolnej liczby c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } i dowolnej liczby a > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a>0,\;a\neq 1} istnieje dokładnie jedna liczba b > 0 {\displaystyle b>0} taka, że c = log a ⁡ b ; {\displaystyle c=\log _{a}b;} dla dowolnej liczby c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } i dowolnej liczby b > 0 {\displaystyle b>0} istnieje dokładnie jedna liczba a > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a>0,a\neq 1} taka, że c = log a ⁡ b . {\displaystyle c=\log _{a}b.} Oznacza to, że przy ustalonym a {\displaystyle a} lub ustalonym b {\displaystyle b} działanie log {\displaystyle \log } jest różnowartościową suriekcją na zbiór R . {\displaystyle \mathbb {R} .} == Logarytm binarny == Logarytm o podstawie równej 2. == Logarytm naturalny == Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą e {\displaystyle e} równą w przybliżeniu 2,718 281828. {\displaystyle 2{,}718281828.} Zwyczajowo zamiast log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}x} pisze się ln ⁡ x . {\displaystyle \ln x.} Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej exp , {\displaystyle \exp ,} dla której exp ⁡ ( 1 ) = e , {\displaystyle \exp(1)=e,} postaci exp ⁡ ( x ) = ∑ k = 0 ∞ x k k ! , {\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},} wtedy jej pochodna (również formalna) ( exp ⁡ x ) ′ = exp ⁡ x , {\displaystyle (\exp x)'=\exp x,} co oznacza, że ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x {\displaystyle (\ln x)'={\tfrac {1}{x}}} zamiast ( log a ⁡ x ) ′ = 1 x ln ⁡ a , {\displaystyle (\log _{a}x)'={\tfrac {1}{x\ln a}},} ponieważ ln ⁡ e = 1. {\displaystyle \ln e=1.} W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego e {\displaystyle e} jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych. == Logarytm dziesiętny == Zapis bez indeksu