Znak plus-minus (±) jest symbolem o wielu znaczeniach. W matematyce – zazwyczaj oznacza wybór dokładnie dwóch wartości, z których jedną można uzyskać poprzez dodawanie, a drugą poprzez odejmowanie. W naukach eksperymentalnych – oznacza przedział ufności lub rachunek błędów w pomiarze (m.in.: błąd standardowy oraz odchylenie standardowe). Może również przedstawiać odczytywalny przedział wartości. W inżynierii – oznacza tolerancję, będącą przedziałem wartości uznawanych za akceptowalne, bezpieczne lub zgodne z ustalonym standardem lub kontraktem. W botanice – używany w opisach morfologicznych, oznacza „mniej więcej”. W chemii – używany do mieszanin racemicznych. W szachach – oznacza widoczną przewagę białych; znak ∓ oznacza widoczną przewagę czarnych. == Historia == Wersja znaku plus-minus, łącznie z francuskim słowem ou („lub”), była użyta przez matematyka Alberta Girarda w 1626 roku. Współczesna forma była użyta już w 1631 roku w Clavis Mathematicae Williama Oughtreda. == Użycie == === Matematyka === We wzorach matematycznych znak ± może zostać zastosowany jako zastępstwo znaków + i -. Pozwala to przedstawić dwie wartości lub równania naraz. Przykładowo, jednym ze sposobów na zapisanie wyniku równania x 2 = 9 , {\displaystyle x^{2}=9,} może być x = ± 3. {\displaystyle x=\pm 3.} Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania, które można otrzymać poprzez zastąpienie x = ± 3 {\displaystyle x=\pm 3} przez x = + 3 {\displaystyle x=+3} lub x = − 3. {\displaystyle x=-3.} Tylko jedno z tych dwóch zastąpionych równań jest prawdziwe dla dowolnego prawidłowego rozwiązania. Użycie tego typu notacji można zobaczyć we wzorze na miejsce zerowe funkcji kwadratowej: x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.} Opisuje on dwa rozwiązania równania kwadratowego: a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.} Również tożsamość trygonometryczna: sin ⁡ ( A ± B ) = sin ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) ± cos ⁡ ( A ) sin ⁡ ( B ) {\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)} może być zinterpretowana jako skrót dla dwóch równań: jednego z + po obu stronach równania, oraz jednego z - po obu stronach równania. Obie kopie znaku ± w tej tożsamości muszą być zastąpione w ten sam sposób: nie można zamienić jednego z nich na +, a drugiego na -. W przeciwieństwie do funkcji kwadratowej, oba równania tożsamości są tak samo poprawne. Znak minus-plus (∓) jest zazwyczaj używany w połączeniu ze znakiem ±, w wyrażeniach takich jak: x ± y ∓ z {\displaystyle x\pm y\mp z} x ± y ∓ z {\displaystyle x\pm y\mp z} może oznaczać x + y − z {\displaystyle x+y-z} oraz x − y + z {\displaystyle x-y+z} x ± y ∓ z {\displaystyle x\pm y\mp z} nie może oznaczać x + y + z {\displaystyle x+y+z} oraz x − y − z {\displaystyle x-y-z} x ± y ∓ z {\displaystyle x\pm y\mp z} można zapisać jako x ± ( y − z ) , {\displaystyle x\pm (y-z),} aby uniknąć nieporozumienia, jednak w przypadku tożsamości najlepiej używać znaku ∓ Przykładowo: cos ⁡ ( A ± B ) = cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) ∓ sin ⁡ ( A ) sin ⁡ ( B ) {\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)} reprezentuje dwa równania: cos ⁡ ( A + B ) = cos ⁡ ( A ) c o s ( B ) − sin ⁡ ( A ) sin ⁡ ( B ) , {\displaystyle \cos(A+B)=\cos(A)cos(B)-\sin(A)\sin(B),} cos ⁡ ( A − B ) = cos ⁡ ( A ) c o s ( B ) + sin ⁡ ( A ) sin ⁡ ( B ) . {\displaystyle \cos(A-B)=\cos(A)cos(B)+\sin(A)\sin(B).} Innym przykładem, w którym pojawia się znak ∓, jest: x 3 ± 1 = ( x ± 1 ) ( x 2 ∓ x + 1 ) . {\displaystyle x^{3}\pm 1=(x\pm 1)(x^{2}\mp x+1).} Jeszcze jedno pokrewne zastosowanie można zauważyć we wzorze na sinus szeregu Taylora: sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ ± 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + … {\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\dots } W tym przypadku znak ± zaznacza, że termin może być dodany lub ujęty, w zależności od tego czy n {\displaystyle n} jest parzyste, czy nieparzyste. Innym sposobem zapisania tego samego wzoru byłoby pomnożenie każdego elementu przez ( − 1 ) n . {\displaystyle (-1)^{n}.} === Statystyka === Znak ± używany jest najczęściej przy przybliżonym przedstawianiu wartości liczbowej ilości, razem z jej tolerancją lub ze statystycznym marginesem błędu. Przykładowo, 5 , 7 ± 0 , 2 {\displaystyle 5{,}7\pm 0{,}2} może znajdować się w dowolnym miejscu w zakresie od 5,5 do 5,9. W użyciu naukowym, ± odnosi się czasem do prawdopodobieństwa znalezienia się w podanym przedziale, odpowiadającym 1 lub 2 odchyleniom standardowym (68,3% lub 95,4% prawdopodobieństwo w rozkładzie Gaussa). Operacje zawierające niepewne wartości powinny dążyć do zatrzymania niepewności, aby unikać propagacji błędu. === Szachy === Symbole ± oraz ∓ są używane w notacji szachowej aby określić przewagę białych lub czarnych. Zazwyczaj używane są one do pokazania większej przewagi, niż w przypadku użycia + i −. == Kodowanie i wpisywanie == == Podobne znaki == Symbol plus-minus przypomina chińskie znaki 土 („ziemia”) oraz 士 („uczeń”; „kawaler”). == Przypisy ==