Test t Studenta – test statystyczny używany do sprawdzania hipotez o wartości średniej danej cechy w populacji lub różnicy między wartościami średnimi w różnych populacjach; badana cecha winna mieć rozkład normalny lub zbliżony do normalnego. Jednej z wersji tego testu używa się, gdy chce się sprawdzić, czy średnia w populacji przyjmuje określoną wartość (test t dla jednej średniej). Inna wersja stosowana jest wtedy, gdy należy sprawdzić równość średnich w dwóch niezależnych populacjach (test t dla dwóch średnich). Testu t Studenta używa się także do badania różnic między średnimi na podstawie prób powiązanych (zależnych), czyli takich, w których obserwacje występują w parach (np. pomiar przed i po zastosowaniu jakiegoś działania). Test t Studenta korzysta ze statystyki testowej o rozkładzie Studenta. == Podstawowa idea == Jeśli próba losowa pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym N ( μ 0 , σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma ^{2})} , to średnia z próby X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} również ma rozkład normalny N ( μ 0 , σ 2 / n ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma ^{2}/n)} z wartością oczekiwaną μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} i wariancją σ 2 / n {\displaystyle \sigma ^{2}/n} . Różnica X ¯ − μ 0 , {\displaystyle {\overline {X}}-\mu _{0},} dzielona przez tzw. błąd standardowy średniej (tj. iloraz odchylenia standardowego w populacji i pierwiastka z liczebności n {\displaystyle n} próby) U = X ¯ − μ 0 σ / n {\displaystyle U={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}} ma standardowy rozkład normalny N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} . Odchylenie standardowe w populacji σ {\displaystyle \sigma } nie jest jednak zwykle znane. Postępujemy wtedy następująco: odchylenie σ {\displaystyle \sigma } zastępujemy odchyleniem standardowym z próby s {\displaystyle s} ; uzyskany w ten sposób rozkład t Studenta pozwala oszacować średnią w populacji nawet dla małej liczebności próby n ⩽ 30 {\displaystyle n\leqslant 30} (dla próby o większej liczebności s {\displaystyle s} dobrze przybliża σ {\displaystyle \sigma } ; wtedy rozkład t Studenta dobrze przybliża się rozkładem normalnym). == Test t dla jednej średniej == Założenia: Test ten stosuje się, gdy można założyć, że zmienna losowa X {\displaystyle X} opisująca cechę w populacji ma (w przybliżeniu) rozkład normalny N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} . Przy tym ani μ {\displaystyle \mu } (średnia) ani σ {\displaystyle \sigma } (odchylenie standardowe) nie są znane, ale dostępna jest próba losowa pobrana z populacji. W takiej sytuacji można postawić hipotezę dotyczącą wartości μ {\displaystyle \mu } i przeprowadzić test weryfikujący tę hipotezę. Sprawdzenie warunku normalności jest szczególnie istotne w przypadku małych prób (np. n ⩽ 30 {\displaystyle n\leqslant 30} ), ponieważ w próbach o większej liczebności rozkład średniej próby dąży do normalnego (wynika to z centralnego twierdzenia granicznego). Hipoteza zerowa: Oznaczmy średnią z próby symbolem X ¯ , {\displaystyle {\bar {X}},} a odchylenie standardowe z próby – symbolem s {\displaystyle s} tj. X ¯ = 1 n ∑ k = 1 n X k {\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}} s = 1 n − 1 ∑ k = 1 n ( X k − X ¯ ) 2 {\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n}{(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}}}} gdzie n {\displaystyle n} – liczebność próby. W ramach testu jednej średniej weryfikuje się hipotezę zerową, która zakłada, że prawdziwa średnia w populacji, z której pobierana jest próba o liczebności n , {\displaystyle n,} jest równa pewnej liczbie μ 0 . {\displaystyle \mu _{0}.} Jeżeli hipoteza zerowa jest prawdziwa, to statystyka T {\displaystyle T} , dana wzorem T = X ¯ − μ 0 s / n {\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}}} ma rozkład Studenta z ν = n − 1 {\displaystyle \nu =n-1} stopniami swobody. Uwaga: Niektórzy autorzy stosują wzór na odchylenie z próby w postaci estymatora s ∗ = 1 n ∑ k = 1 n ( X k − X ¯ ) 2 {\displaystyle s^{*}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}}}} gdzie n {\displaystyle n} – liczebność próby. Wtedy statystyka T {\displaystyle T} dana jest wzorem T = X ¯ − μ 0 s ∗ /